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Lemma ds1

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Vielleicht noch eine kurze Erklärung für nicht Mathematiker:
Eine Folge ist eine Zahlenreihe wie z.B. 1; 2; 3; 4; ... . Es müssen darin nicht nur natürliche Zahlen enthalten sein und es muss auch keine Logik dahinter stehen (ist zwar meistens der Fall, weil eine Folge ohne Logik keinen Sinn macht, aber es ist nicht notwendig). Eine Folge isz z.B. auch: 5; 3,6; 1,00001; ?; -168; ...

Es gibt Folgen, die "auf einen Punkt zustreben", also immer näher an eine Zahl streben. Z.B. strebt die Folge 1; 1/2; 1/3; 1/4; ... gegen die Zahl 0. Diese Folge nennt man konvergent, bzw. sagt man auch konvergierende Folge dazu. Die Zahl, welche die Folge im unendlichen erreicht, heißt Limes. Im obigen Beispiel ist das die 0.

Es kann aber auch passieren, dass eine Folge nicht konvergent ist, sondern mehreren Werten zustrebt. z.B. 1; 3,1; 1/2; 3,01; 1/4; 3,001; 1/8; 3,0001; ... . Diese Werte, im Beispiel 1 und 3 heißen Häufungspunkte.
Das Lemma ds1 besagt jetzt folgendes: Wenn ich eine Folge in mehrere konvergente Teilfolgen zerlegen kann und dabei alle Elemente verarbeite, habe ich auch alle Häufungspunkte.

In dem Beispiel oben könnte ich die Folge in zwei folgen aufteilen:
 1.) 1; 1/2; 1/4; 1/8; ...
 2.) 3,1; 3,01; 3,001; 3,0001; ...
Damit habe ich alle Elemente verarbeitet. Das Lemma ds1 beweist jetzt, dass 0 und 3 die einzigen Häufungspunkte der Folge sind.
Gut, das hätte man jetzt auch wirklich so herausfinden können, aber mathematisch muss es eben erst mal bewiesen werden. ;-)